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ALGEBRA LINEAL

Docente:  GONZALO SALINAS PERICÓN

Gestión: 2014

Contenido resumen

  • PUNTOS Y VECTORES EN ℝⁿ
  • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
  • MATRICES Y DETERMINANTES
  • ESPACIOS VECTORIALES
  • APLICACIONES LINEALES
  • VECTORES Y VALORES PROPIOS

UNIDAD  1: VECTORES

Objetivos de la Unidad

*      Establecer una conexión entre el álgebra lineal y la intuición geométrica.

*      Generalizar el concepto de vector a n coordenadas.

*      Definir en el espacio Rn  : Punto y vector anclado, igualdad, adición, múltiplo, norma, ortogonalidad y proyección ortogonal.

*      Brindar ejemplos concretos, con coordenadas, de combinaciones lineales, ortogonalidad y otras nociones que se desarrollan más adelante. Además del contexto geométrico, estas nociones suministran ejemplos de subespacios vectoriales y una interpretación de las ecuaciones lineales.

Contenido

1.      Definición de puntos en el espacio Rn

2.      Vectores anclados

3.      Producto escalar y norma

4.      Rectas paramétricas

5.      Hiperplanos

UNIDAD 2: MATRICES, ECUACIONES LINEALES  Y DETERMINANTES

Objetivos de la Unidad

*      Conocer el concepto de matriz.

*      Efectuar operaciones entre matrices y aplicar.

*      Encontrar, si existe, la inversa de una matriz cuadrada a través de operaciones elementales sobre sus renglones (Matrices elementales).

*      Relacionar las matrices con sistemas de ecuaciones lineales.

*      Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante los métodos de Eliminación, Eliminación de Gauss y Gauss Jordan.

*      Calcular la inversa y aplicar sus propiedades.

*      Comprender el concepto de función determinante.

*      Evaluar el determinante de una matriz cuadrada.

*      Conocer y aplicar las propiedades del determinante.

*      Establecer relaciones entre determinantes y propiedades de la inversa

*      Conocer el concepto de adjunta de una matriz cuadrada y sus propiedades.

*      Aplicar la relación entre el determinante, la adjunta y la inversa de una matriz.

*      Aplicar la regla de Cramer en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Contenido

1.      Matrices, operaciones y ejemplos

2.      Ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas

3.      Operaciones por renglones, eliminación de Gauss y Gauss Jordan

4.      Matrices elementales

5.      Permutaciones y la definición del determinante

6.      Determinantes de orden 2 x 2

7.      Determinantes de orden 3 x 3  y  n x n

8.      Desarrollo por cofactores

9.      Propiedades y aplicaciones

10.  Regla de Cramer

11.  Inversa de una matriz

UNIDAD 3: ESPACIOS VECTORIALES

Objetivos de la Unidad

*      Conocer los conceptos de espacio vectorial, subespacio y ejemplos.

*      Interpretar los conceptos conjunto generador, independencia y dependencia lineal entre vectores.

*      Conocer los conceptos de base y dimensión de un espacio vectorial.

*      Calcular el rango de una matriz.

*      Definir producto escalar y verificar si una operación dada, definida de un conjunto dado, es o no un producto interior.

*      Definir conjunto ortonormal de vectores.

*      Definir y obtener la proyección ortogonal y la componente de un vector sobre un espacio M.

*      Demostrar que todo espacio de dimensión finita con producto interior tiene una base ORTONORMAL, utilizando el proceso de ORTOGONALIZACION de Gram-Schmidt.

Contenido

  1. Espacios vectoriales y subespacios
     
  2. Combinaciones lineales
     
  3. Independencia lineal
     
  4. Base y dimensión
     
  5. Rango de una matriz
     
  6. Productos interiores
     
  7. Bases ortogonales y ortonormales.
     
  8. Procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt

UNIDAD 4: APLICACIONES LINEALES Y APLICACION INVERSA

Objetivo de la Unidad

*      Definir aplicación, aplicación lineal y verificar la linealidad.

*      Enunciar y demostrar las propiedades de las transformaciones lineales.

*      Definir y obtener núcleo, imagen de una transformación lineal.

*      Definir transformación matricial.

*      Enunciar y aplicar el teorema de la dimensión.

*      Definir y obtener la matriz de una transformación lineal T: Rn->Rm relativas a las bases B y B´ donde B y B´ son bases arbitrarias de Rn y Rm respectivamente.

*      Definir y obtener la matriz de transición de una base B a una base B’; definir matrices semejantes (o similares)

*      Definir la aplicación compuesta y conocer sus propiedades.

*      Conocer las definiciones de aplicaciones inversas y los teoremas que las relacionan

Contenido

1.      Aplicaciones.

2.      Aplicaciones lineales.

3.      El núcleo e imagen de una aplicación lineal.

4.      El rango y las ecuaciones lineales.

5.      Matriz asociada a una aplicación lineal y cambio de base.

6.      Composición de aplicaciones lineales

7.      Aplicaciones Invertibles

UNIDAD 5: VECTORES Y VALORES PROPIOS

Objetivo de la Unidad

*      Definir y conocer las propiedades básicas de los valores propios y de los vectores propios.

*      Calcular el polinomio característico.

*      Diagonalizar una matriz simétrica.

Contenido

1.      Vectores y valores propios

2.      El polinomio característico

3.      Diagonalización de matrices simétricas

Horario de Clases

  • LUNES: 17:15, 693C
  • MARTES: 17:15, 625B
  • JUEVES: 17:15, 691E

Fechas de Examen

  • Primer parcial: LUNES 28 DE ABRIL

  • Segundo parcial: MARTES 24 DE JUNIO

  • Examen Final: JUEVES 3 DE JULIO

Bibliografía

1.      Lang S., Introductión to Linear Algebra, 2da. Edition, Addison Wesley, 1970.

2.      Lipschutz, S., Teoría y Problemas de Algebra Lineal, Mcgraw – Hill 1971.

3.      Antón H, Introducción al Algebra Lineal, 3ra edición, Limusa Noriega, 1990

4.      Koleman B., Álgebra Lineal con aplicaciones y Mat Lab, sexta Edición, Prentice Hall, 1997

5.      Nakos G., Álgebra Lineal con aplicaciones, International Thompson editores, 1999